純粋数学こそが真の実用性を持つ理由

Why Surface Descriptions Trump Causal Explanations

現在「応用数学」と呼ばれている分野よりも、純粋数学の方がはるかに現実世界に適用可能である。これは一見逆説的に聞こえるかもしれないが、その理由を説明したい。

応用数学の根本的な問題

応用数学は物理的因果関係の説明に固執しすぎている。研究者たちは観察される現象を数学的に表現しようと、類推によってモデルを構築する。しかし、これは実際に起こっていることではなく、単に私たちが観察する現象にプラトン的な推論を当てはめているに過ぎない。

問題は、このプラトン的推論が単なる共通言語を超えて、現象が「どのように」起こるかの説明そのものになってしまったことだ。あらゆる因果関係の説明が、厳密に見える言語で提供されることが期待される。これにより、原因の解明が厳密な方法で行われたかのような外観が生まれる。

しかし、数学が原因やメカニズムの厳密な基盤を提供するという仮定には、極めて些細なもの以外では科学的に正当な根拠がない。

これは数学の過ちではない。数学は人間の推論を象徴化した形を反映する、内部的に一貫したフレームワークなのだ。数学は物理現象の内部に適用されることを求めたことはない。これは人間が因果関係の説明に対する欲求を満たすために精密さをもたらそうとした結果である。

誤りは内部の原因を追求することにある。自然界には決定論的な機械の下で動作する物理システムなど存在したことがない。数学の教育における嘆かわしいほど思考停止的な方法から、現在の学術論文工場での濫用まで、数学における問題はすべて、それが偽りの方法で内部の因果関係に結び付けられていることに起因している。

しかし数学は、単なる見世物のために歌い踊ることを強制されなければ、美と適用可能性の両方を持っている。内部に押し付けるのではなく、表面で見られるものを記述するために使用できる自然な構造と性質が存在する。

数学が適用されるべきは表面なのだ。ここに構造と性質が存在し、したがってこれが実際に存在するものである。なぜなら、これが創発したものであり、自然のすべては創発的だからだ。

形式体系の純粋性、論理的基盤、内部一貫性、数学的対象は、私たちが観察する構造と性質を形式化するために使用できる。数学的形式を、何かがどのように起こったか、どこから来たかの説明としてではなく、単に物事が表面で、今ここで、どのように記述できるかの簡潔な記述として見ることができる。

群、半群、モノイド、ループ、環、体、代数、リー代数、ホップ代数、ガロア接続、トポス、層、多様体など。

これらはすべて内部の原因という概念から根本的に切り離されており、まさにそれゆえに内部メカニズムと因果関係の物語よりも自然により適用可能なのだ。これらは自分たちではない何かのふりをしない。

これが数学の使われ方であるべきなのだ。数学は物理現象の内部構造を説明するためのものではなく、創発した表面の構造を記述するための純粋で美しいツールとして存在する。その純粋性こそが、真の実用性の源泉なのである。